Calcul infinitésimal Exemples

$P (t) = 20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ , $t = 8$

Étape 1

Le pourcentage de variation de la fonction est la valeur de la dérivée (taux de variation) sur $8$ sur la valeur de la fonction sur $8$ .

$\frac{f' (8)}{f (8)}$

Étape 2

Remplacez les fonctions dans la formule afin de déterminer la fonction du taux de variation en pourcentage.

$\frac{1000 t + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $1000 t + 11700$ et $20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $1000 t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Étape 3.1.2

Factorisez $20$ à partir de $11700$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 20 \cdot 585}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Étape 3.1.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (50 t) + 20 (585)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Étape 3.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $20$ à partir de $20 {(65 + 5 t)}^{2}$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) - 1300 t}$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $20$ à partir de $- 1300 t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)}$

Étape 3.1.4.3

Factorisez $20$ à partir de $20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

Étape 3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{50 t + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $50 t + 585$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50 t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Étape 3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $585$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 5 (117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Étape 3.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (10 t) + 5 (117)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Laissez $u = t$ . Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $u$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{4225 + 25 u^{2} + 585 u}$

Étape 4.2

Factorisez $5$ à partir de $4225 + 25 u^{2} + 585 u$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $4225$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 25 u^{2} + 585 u}$

Étape 4.2.2

Factorisez $5$ à partir de $25 u^{2}$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 585 u}$

Étape 4.2.3

Factorisez $5$ à partir de $585 u$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

Étape 4.2.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (845) + 5 (5 u^{2})$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

Étape 4.2.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2} + 117 u)}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 u^{2} + 117 u + 845)}$

Étape 4.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{10 t + 117}{5 t^{2} + 117 t + 845}$

Étape 6

Évaluez la formule sur $t = 8$ .

$\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$

Étape 7

Simplifiez $\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Multipliez $10$ par $8$ .

$\frac{80 + 117}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

Étape 7.1.2

Additionnez $80$ et $117$ .

$\frac{197}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{197}{5 \cdot 64 + 117 (8) + 845}$

Étape 7.2.2

Multipliez $5$ par $64$ .

$\frac{197}{320 + 117 (8) + 845}$

Étape 7.2.3

Multipliez $117$ par $8$ .

$\frac{197}{320 + 936 + 845}$

Étape 7.2.4

Additionnez $320$ et $936$ .

$\frac{197}{1256 + 845}$

Étape 7.2.5

Additionnez $1256$ et $845$ .

$\frac{197}{2101}$

Étape 8

Convertissez $\frac{197}{2101}$ en une décimale.

$0.09376487$

Étape 9

Convertissez $0.09376487$ en un pourcentage.

$9.37648738$ %