Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Étape 1

Le pourcentage de variation de la fonction est la valeur de la dérivée (taux de variation) sur $4$ sur la valeur de la fonction sur $4$ .

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

Étape 2

Remplacez les fonctions dans la formule afin de déterminer la fonction du taux de variation en pourcentage.

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 9}$ comme ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Étape 6

Évaluez la formule sur $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

Étape 7.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{4}{25^{1}}$

Étape 7.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{25}$

Étape 8

Convertissez $\frac{4}{25}$ en une décimale.

$0.16$

Étape 9

Convertissez $0.16$ en un pourcentage.

$16$ %