Calcul infinitésimal Exemples

$H (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (u + h) - f u}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = u + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $u$ par $u + h$ dans l’expression.

$H (u + h) = ((u + h) - \sqrt{u + h}) ((u + h) + \sqrt{u + h})$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Développez $(u + h - \sqrt{u + h}) (u + h + \sqrt{u + h})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.2.2.1

Associez les termes opposés dans $u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $u \sqrt{u + h}$ et $- \sqrt{u + h} u$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - u \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Soustrayez $u \sqrt{u + h}$ de $u \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} + 0 - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.1.3

Additionnez $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h}$ et $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $h \sqrt{u + h}$ et $- \sqrt{u + h} h$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.1.5

Soustrayez $h \sqrt{u + h}$ de $h \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + 0 - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.1.6

Additionnez $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h$ et $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.2.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Étape 2.1.2.2.2.3

Multipliez $- \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

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Étape 2.1.2.2.2.3.1

Élevez $\sqrt{u + h}$ à la puissance $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Étape 2.1.2.2.2.3.2

Élevez $\sqrt{u + h}$ à la puissance $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Étape 2.1.2.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.2.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{2}$

Étape 2.1.2.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{u + h}}^{2}$ comme $u + h$ .

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Étape 2.1.2.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u + h}$ comme ${(u + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {({(u + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.2.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.2.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.2.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.2.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Étape 2.1.2.2.2.4.5

Simplifiez

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Étape 2.1.2.2.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - u - h$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $u h$ et $h u$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Remettez dans l’ordre $u$ et $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + h u + h u + h^{2} - u - h$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $h u$ et $h u$ .

$H (u + h) = u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $- u$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - h - u$

Étape 2.2.2

Déplacez $u^{2}$ .

$2 h u + h^{2} + u^{2} - h - u$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $2 h u$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{H (u + h) - H u}{h} = \frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - (u^{2} - u)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} - - u}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- - u$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + 1 u}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + u}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + 0 + u}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + u}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- u$ et $u$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h + 0}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{2} + 2 h u - h$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h}{h}$

Étape 4.1.7

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h u - h$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h u - h}{h}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h u$ .

$\frac{h (h) + h (2 u) - h}{h}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$\frac{h (h) + h (2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Étape 4.1.7.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 u)$ .

$\frac{h (h + 2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Étape 4.1.7.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 u) + h \cdot - 1$ .

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h + 2 u - 1$ par $1$ .

$h + 2 u - 1$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 u$ .

$2 u + h - 1$

Étape 5