Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (x)}{\csc (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$