Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{2}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{h}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{2}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{x (x + h)} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}$ par $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h) h}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{x}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.1.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.3

Associez les termes opposés dans $2 x - 2 (x + 0)$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 3.1.3.4.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.5.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2 (x + h)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.3

Comme $2 x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 2 (x + h)$ par rapport à $h$ est $- 2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.4.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.4.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.4.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = x + h$ et $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $x + h$ par $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Étape 3.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

Étape 3.3.10

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Étape 3.3.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \cdot 1}$

Étape 3.3.13

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h}$

Étape 3.3.14

Additionnez $h$ et $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + 2 h}$

Étape 3.3.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{2 h + x}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 lim_{h \to 0} \frac{1}{2 h + x}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

Étape 4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

Étape 5

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{0 + x}$

Étape 6.3.2

Additionnez $0$ et $x$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.4

Multipliez $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{2}{x \cdot x}$

Étape 6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x}$

Étape 6.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x^{1}}$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2}{x^{1 + 1}}$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$