Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (x)}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $0$ et $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sin (2 \cdot 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sin (0)$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$