Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 10

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 11

Évaluez la limite de $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Associez les termes opposés dans ${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

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Étape 13.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 13.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 13.2

Soustrayez $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ de $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

$0$