Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $\tan (x)$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\tan (x + 0) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Associez les termes opposés dans $\tan (x + 0) - \tan (x)$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $\tan (x)$ de $\tan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x + h) - \tan (x)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \tan (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $\sec^{2} (x + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \tan (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $\sec^{2} (x + h)$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez $\sec (x + h)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x + h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x + h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x + h)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x + 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$

Étape 4.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x + 0)}$ à $\sec (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x + 0)$

Étape 4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\sec^{2} (x)$