Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 3} - 2^{- 3}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Convertissez les exposants négatifs en fractions.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - 2^{- 3}}{h}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Étape 1.1.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.1

Pour écrire $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ par $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2^{3}}$ par $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}$ par $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 1.3

Placez le terme $\frac{1}{2^{3}}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $2^{3}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $3$ de ${(2 + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 2^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(2 + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 2.1.3.5.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3.5.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot 0}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{2^{3} \cdot 0}$

Étape 2.1.3.6.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.6.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - {(2 + h)}^{3}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $8$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- {(2 + h)}^{3}$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{3}$ et $g (h) = 2 + h$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.4

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.5.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.6

Soustrayez $3 {(2 + h)}^{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = {(2 + h)}^{3}$ et $g (h) = h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Étape 2.3.9

Multipliez ${(2 + h)}^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{3}$ et $g (h) = 2 + h$ .

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Étape 2.3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Étape 2.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Étape 2.3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Étape 2.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}$

Étape 2.3.12

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Étape 2.3.13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}$

Étape 2.3.15

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Étape 2.3.16

Simplifiez

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Étape 2.3.16.1

Factorisez ${(2 + h)}^{2}$ à partir de ${(2 + h)}^{3} + h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

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Étape 2.3.16.1.1

Factorisez ${(2 + h)}^{2}$ à partir de ${(2 + h)}^{3}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Étape 2.3.16.1.2

Factorisez ${(2 + h)}^{2}$ à partir de $h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} h \cdot 3}$

Étape 2.3.16.1.3

Factorisez ${(2 + h)}^{2}$ à partir de ${(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} (h \cdot (3))$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + h \cdot (3))}$

Étape 2.3.16.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.16.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + 3 \cdot h)}$

Étape 2.3.16.2.2

Additionnez $h$ et $3 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.3

Réécrivez ${(2 + h)}^{2}$ comme $(2 + h) (2 + h)$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 + h) (2 + h) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.4

Développez $(2 + h) (2 + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.16.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 (2 + h) + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.16.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.16.5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.5.1.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.5.2

Additionnez $2 h$ et $2 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Étape 2.3.16.6

Développez $(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{4 \cdot 2 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.16.7.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h \cdot h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.5

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.7

Déplacez $2$ à gauche de $h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 \cdot h^{2} + h^{2} \cdot 4 h}$

Étape 2.3.16.7.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{2} h}$

Étape 2.3.16.7.9

Multipliez $h^{2}$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.16.7.9.1

Déplacez $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h \cdot h^{2}}$

Étape 2.3.16.7.9.2

Multipliez $h$ par $h^{2}$ .

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Étape 2.3.16.7.9.2.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1} h^{2}}$

Étape 2.3.16.7.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1 + 2}}$

Étape 2.3.16.7.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 2.3.16.8

Additionnez $16 h$ et $8 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 2.3.16.9

Additionnez $16 h^{2}$ et $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Étape 3.8

Placez le terme $24$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Étape 3.9

Placez le terme $18$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Étape 3.10

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Étape 3.11

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0} h^{3}}$

Étape 3.12

Déplacez l’exposant $3$ de $h^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{2^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $24$ par $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.5.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.5.3

Multipliez $18$ par $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Étape 5.5.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 5.5.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 0}$

Étape 5.5.6

Additionnez $8 + 0 + 0$ et $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0}$

Étape 5.5.7

Additionnez $8 + 0$ et $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0}$

Étape 5.5.8

Additionnez $8$ et $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Étape 5.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- 3}{4 (2)} \cdot \frac{4}{8}$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{4}{8}$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{- 3}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 3}{2 \cdot 8}$

Étape 5.8

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{- 3}{16}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{16}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{16}$

Forme décimale :

$- 0.1875$