Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (2 + h) - \ln (2)}{h}$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 2 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + 0))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \ln (h)$ et $g (h) = \frac{2 + h}{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{2 + h}{2}} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1 \frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4

Multipliez $\frac{2}{2 + h}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\frac{2 + h}{2}$ par rapport à $h$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.12

Multipliez $\frac{1}{2 + h}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2} \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{h + 2}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Étape 4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Étape 5

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$