Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(1 + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(1 + h)}^{3} - 1$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{3}$ et $g (h) = 1 + h$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $3 {(1 + h)}^{2}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez ${(1 + h)}^{2}$ comme $(1 + h) (1 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((1 + h) (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3

Développez $(1 + h) (1 + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 (1 + h) + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4.1.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4.1.3

Multipliez $h$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4.1.4

Multipliez $h$ par $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4.2

Additionnez $h$ et $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 2 h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 1 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.6

Simplifiez

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Étape 1.3.5.6.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $3 + 6 h + 3 h^{2}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 + 6 h + 3 h^{2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Étape 2.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Étape 4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$3 + 0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$