Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos (2 h)}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} 1 - \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{h \to 0} \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1 - \cos (2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos (2 h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1 - \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1 - \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (2 h)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \cos (2 h)$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [\cos (2 h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [\cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \cos (h)$ et $g (h) = 2 h$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 h$ par rapport à $h$ est $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) (2 \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) \cdot 2)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $2 \sin (2 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (2 h)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 \sin (2 h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 \sin (2 h)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \sin (2 h)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \sin (lim_{h \to 0} 2 h)$

Étape 2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$2 \sin (2 lim_{h \to 0} h)$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 \sin (2 \cdot 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \sin (0)$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$