Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Étape 4

Réécrivez $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ comme $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.5.2.1

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.10

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.13

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.14.1

Factorisez $x$ à partir de $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.14.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.14.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15

Simplifiez

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Étape 5.3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.15.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.3.2

Soustrayez $1 \cdot 1$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.4

Associez des termes.

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Étape 5.3.15.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 5.3.15.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.16

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 5.3.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 5.3.18

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 5.5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{1}{x (x + 1)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{1}{x (x + 1)}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 7.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 7.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Étape 9.2

Divisez $1$ par $1$ .

$e^{1}$

Étape 10

Simplifiez

$e$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e$

Forme décimale :

$2.71828182 \dots$