Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ comme $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ .

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ en déplaçant $k$ hors du logarithme.

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $k$ approche de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $k$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

Étape 5.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

${(\frac{7}{8})}^{8}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

Étape 5.5

Élevez $7$ à la puissance $8$ .

$\frac{5764801}{8^{8}}$

Étape 5.6

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{5764801}{16777216}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5764801}{16777216}$

Forme décimale :

$0.34360891 \dots$