Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{n}{n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $n^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Étape 4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Étape 6

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Étape 7

Évaluez la limite de $8 i$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 (1)}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Étape 9.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8^{3}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Étape 9.1.2.2

Factorisez $8$ à partir de $6 \cdot 8^{2}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Étape 9.1.2.3

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Étape 9.1.2.4

Factorisez $8$ à partir de $- 12 \cdot 8$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12 - 8 i}$

Étape 9.1.2.5

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) - 8 i}$

Étape 9.1.2.6

Factorisez $8$ à partir de $- 8 i$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)}$

Étape 9.1.2.7

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Étape 9.1.2.8

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Étape 9.1.2.9

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{100 - i}$ par le conjugué de $100 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{100 - i} \cdot \frac{100 + i}{100 + i}$

Étape 9.3

Multipliez.

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Étape 9.3.1

Associez.

$\frac{1 (100 + i)}{(100 - i) (100 + i)}$

Étape 9.3.2

Multipliez $100 + i$ par $1$ .

$\frac{100 + i}{(100 - i) (100 + i)}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Développez $(100 - i) (100 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100 + i}{100 (100 + i) - i (100 + i)}$

Étape 9.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i (100 + i)}$

Étape 9.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Étape 9.3.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.3.2.1

Multipliez $100$ par $100$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Étape 9.3.3.2.2

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i i}$

Étape 9.3.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i)}$

Étape 9.3.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 9.3.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{2}}$

Étape 9.3.3.2.7

Soustrayez $100 i$ de $100 i$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 0 - i^{2}}$

Étape 9.3.3.2.8

Additionnez $10000$ et $0$ .

$\frac{100 + i}{10000 - i^{2}}$

Étape 9.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 - - 1}$

Étape 9.3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 1}$

Étape 9.3.3.4

Additionnez $10000$ et $1$ .

$\frac{100 + i}{10001}$

Étape 9.4

Divisez la fraction $\frac{100 + i}{10001}$ en deux fractions.

$\frac{100}{10001} + \frac{i}{10001}$