Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.5.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.5.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{4})}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.5.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}$

Étape 1.3.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{- 2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (2 x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Étape 2.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2.4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{1}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2.4.2.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}$

Étape 4.4

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Étape 4.5

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.70710678 \dots$