Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}) - \tan^{2} (x)$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $- \tan^{2} (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \tan^{2} (x) \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Associez $- \tan^{2} (x)$ et $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez $\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ comme $\frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.4

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 2.1.2.5.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1.2.5.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.2.5.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.1.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $\frac{π}{2}$ par la gauche, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.2.5.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.1.3.2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $\cos^{2} (x)$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $\frac{π}{2}$ vers la gauche, la fonction augmente sans borne.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}$

Étape 2.1.2.5.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.1.2.5.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 2.1.2.5.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.4

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.2.5.1.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.8

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.1.3.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.8.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.3.8.3

Associez $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 2.1.2.5.1.5.1

Associez $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ et $2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.5.2

Associez $\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.5.3

Associez $\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.5.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.5.1.7.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.5

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.5.1.7.5.1

Associez $\cos^{3} (x)$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.5.2

Multipliez $\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.5.3

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.1.7.5.3.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 2.1.2.5.1.7.5.3.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.5.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.5.1.7.6.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.5.1.7.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.7.6.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.2.5.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.5.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.6

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 2.1.2.7.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1.2.7.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.2.7.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.1.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $\frac{π}{2}$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.2.7.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.1.3.2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $\cos^{2} (x)$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $\frac{π}{2}$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.2

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}$

Étape 2.1.2.7.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.1.2.7.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 2.1.2.7.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.4

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.2.7.1.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.8

Simplifiez

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Étape 2.1.2.7.1.3.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.8.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.3.8.3

Associez $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 2.1.2.7.1.5.1

Associez $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ et $2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.5.2

Associez $\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.5.3

Associez $\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.7.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.7.1.7.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.5

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.7.1.7.5.1

Associez $\cos^{3} (x)$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.5.2

Multipliez $\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.5.3

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.7.1.7.5.3.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 2.1.2.7.1.7.5.3.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.5.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.7.1.7.6.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.7.1.7.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.7.6.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.2.7.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.7.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.8

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.9.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.9.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan^{2} (x)$ et $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 2.3.4.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.6

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) - (2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + 2 (\tan^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))) - (2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + 2 \tan^{2} (x) \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \tan^{2} (x) \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.4.1

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \tan^{2} (x) (\cos (x) \sin (x)) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.2

Remettez dans l’ordre $2 \tan^{2} (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \sin (x) (2 \tan^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.4

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sin (x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.5

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.6

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x) {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.9

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (2 x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.4.10.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.10.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.4.10.2.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.10.2.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 2.3.5.4.10.2.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.10.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.11

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.3.5.4.11.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.4.11.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) \cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) \cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.12

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.14

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.3.5.4.14.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \cdot - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.14.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \cdot - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.14.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cdot 1^{2} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cdot 1 \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.16

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.17

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.18

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 2.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 2.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 2.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{2 \cos (x) (- \sin (x))}$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 2.4.2

Pour écrire $\cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{- 2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2

Combinez les facteurs.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}$

Étape 3.2.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.3

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{3} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.7

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.9

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.10.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \cdot 1^{3} - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 \cdot 1 + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 + 0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 4.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 4.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.6.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 4.1.3.6.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 4.1.3.6.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.6.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

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Étape 4.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 3 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 4.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 4.3.5.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 4.3.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 4.3.9

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 4.3.9.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 4.3.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 4.3.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 4.3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 4.3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.12

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Étape 4.3.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}$

Étape 4.3.14

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)}$

Étape 4.3.15

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 4.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}$

Étape 4.3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 4.3.18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{2} (x) \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.12

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.13

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.13.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.13.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.14.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot 1^{2} \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot 0 - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.5

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 - 2 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.7

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1 - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.10

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.1.11

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.2.14.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.1.3.7

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{3}}$

Étape 5.1.3.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 5.1.3.9

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.3.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 5.1.3.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 5.1.3.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.10.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot 1^{2} \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.10.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.10.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot 0 + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.10.1.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.10.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 + 0^{3}}$

Étape 5.1.3.10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 + 0}$

Étape 5.1.3.10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.10.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.6.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 5.3.3.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.8

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{1} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.4.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 5.3.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.5.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.6

Simplifiez

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Étape 5.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \cdot - 1 \sin^{3} (x) + 6 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \cdot - 1 \sin^{3} (x) + 6 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 1 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.6.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 6 \sin^{3} (x) + 6 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 1 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.6.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 1 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.6.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Étape 5.3.8.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.2

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 5.3.8.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.6

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.8.6.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 5.3.8.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.8

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.8.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 5.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

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Étape 5.3.9.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 5.3.9.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

Étape 5.3.9.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 5.3.9.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 5.3.9.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

Étape 5.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 5.3.10

Simplifiez

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Étape 5.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 \cdot - 1 \sin^{3} (x) - 2 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 5.3.10.2

Associez des termes.

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Étape 5.3.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 2 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 5.3.10.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 4 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 5.3.10.2.3

Réorganisez les facteurs de $- 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 4 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 5.3.10.2.4

Soustrayez $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ de $- 4 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 7 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 5.3.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.3

Placez le terme $12$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.5

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.8

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.9

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{3} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.12

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.15

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.16

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.17

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.18

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.19

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.20

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.21

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.22

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.23

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.24

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Étape 6.25

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{3} (x)}$

Étape 6.26

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{3}}$

Étape 6.27

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.8

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.9

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot 0^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 \cdot 1^{3} - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 \cdot 1 - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.8

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 - 2 \cdot 0^{2} + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 - 2 \cdot 0 + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.11

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 \cdot 1 + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.14

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.15

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 + 2 \cdot 1}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.17

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 + 0 + 2 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.18

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 + 2 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.19

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2.20

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 7 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.3.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot 1 + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.3.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Étape 8.3.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2 \cdot 1^{3}}$

Étape 8.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2}$

Étape 8.3.9

Additionnez $0$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

Étape 8.4.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 8.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Étape 8.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$