Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\cos (π \sin (x))) + \sin (π \cos (x))$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Étape 3

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\cos (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \cos (x))$

Étape 6

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\cos (π \cdot 1) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 9.1.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$\cos (π) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 9.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 9.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 1 + \sin (π \cdot 0)$

Étape 9.1.7

Multipliez $π$ par $0$ .

$- 1 + \sin (0)$

Étape 9.1.8

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 1 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 1$