Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant $x^{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{2}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

Étape 1.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{3}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $x^{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{2}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Étape 3.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $0$ .

$0$