Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $4 a$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $a^{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $\frac{a}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.9.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 a$ .

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} - 2 a \cdot a + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.6

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.7

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a^{1}) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} - 2 a^{1 + 1} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.9.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.2

Associez les termes opposés dans $a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a$ .

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Étape 1.1.2.9.2.1

Soustrayez $a$ de $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2} + 0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.2.2

Additionnez $a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}$ et $0$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.3

Soustrayez $2 a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{- a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.2.9.4

Additionnez $- a^{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $a^{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $\frac{a}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.8.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.3.8.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{a^{2} + a - a^{2} - a}$

Étape 1.1.3.8.2

Associez les termes opposés dans $a^{2} + a - a^{2} - a$ .

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Étape 1.1.3.8.2.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{0}{a + 0 - a}$

Étape 1.1.3.8.2.2

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{0}{a - a}$

Étape 1.1.3.8.2.3

Soustrayez $a$ de $a$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8.2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a} = lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 a x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 4 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 a x$ par rapport à $x$ est $- 4 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.6

Comme $a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.7

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.8

Simplifiez

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Étape 1.3.8.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.8.1.1

Additionnez $8 x - 4 a + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.8.1.2

Additionnez $8 x - 4 a + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Étape 1.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.10.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.10.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.11

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.11.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.11.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.12

Comme $- a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Étape 1.3.13

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + 0}$

Étape 1.3.14

Associez des termes.

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Étape 1.3.14.1

Additionnez $8 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0}$

Étape 1.3.14.2

Additionnez $8 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $- 4 a + 8 x + 2$ et $8 x + 2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 a$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 2 (4 x) + 2}{8 x + 2}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 a) + 2 (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2}{8 x + 2}$

Étape 1.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2 \cdot 1}{8 x + 2}$

Étape 1.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 a + 4 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{8 x + 2}$

Étape 1.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2}$

Étape 1.4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2 (1)}$

Étape 1.4.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Étape 1.4.6.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 2 a + 4 x + 1}{4 x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} - 2 a + 4 x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $2 a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Étape 2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Étape 2.7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{a}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{a}{2}$ pour $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 2 a + 2 (2) \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 a + 2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 a + 2 a + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 2 a$ et $2 a$ .

$\frac{0 + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 (2) \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 a + 1}$