Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{6}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}}$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 - π}{6}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{-}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ lorsque $x$ approche de $\frac{π}{6}$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.42359877 & 0.88956192 \\ 0.51359877 & 0.86851094 \\ 0.52259877 & 0.86627525 \\ 0.52349877 & 0.8660504 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $\frac{π}{6}$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.866$ . Ainsi, la limite de $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ lorsque $x$ approche de $\frac{π}{6}$ depuis le côté gauche est $0.866$ .

$0.866$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{+}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ lorsque $x$ approche de $\frac{π}{6}$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.62359877 & 0.83960357 \\ 0.53359877 & 0.86351099 \\ 0.52459877 & 0.86577525 \\ 0.52369877 & 0.8660004 \end{array}$

Étape 8

$0.866$