Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $16$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 16 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{16 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{16 + 0}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{16 + 0}}$

Étape 6.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 + 0}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 6.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$