Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{(\frac{x}{(x + 1)}) - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{x}{(x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Étape 1.2

Pour écrire $- (\frac{4}{5})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) \cdot 5$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 1)}$ par $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) \cdot 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{5 (x + 1)} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}$ par $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1) (x - 4)}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.7.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.7.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 \cdot 5}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 20}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.2.7.2

Soustrayez $20$ de $20$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} x + 1 \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 3.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.7.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.7.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 4)}$

Étape 3.1.3.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot 0}$

Étape 3.1.3.7.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cdot 5 - 4 (x + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cdot 5]$ .

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Étape 3.3.3.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 (x + 1)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.4.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.3.11

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.3.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + 0)}$

Étape 3.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \cdot 1}$

Étape 3.3.16

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + x - 4}$

Étape 3.3.17

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + 1 - 4}$

Étape 3.3.18

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x - 3}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

Étape 4.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 1 \cdot 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 3}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5}$

Étape 6.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{25}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{25}$

Forme décimale :

$0.04$