Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 x^{2} + x - 1}{4 x^{2} - 4 x - 3}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Étape 3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Étape 7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Étape 9

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Étape 10

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Étape 12.1.1

Multipliez $\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Étape 12.1.2

Associez.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3)}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{12 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{12 \frac{1}{2^{2}} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{12 (\frac{1}{4}) + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 (3) \frac{1}{4} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 3 \frac{1}{4} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.6

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 12.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 + 1 + 2 \cdot - 1}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 + 1 - 2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.7

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 - 2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.4.8

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2}{8 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{8 \frac{1}{2^{2}} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{8 (\frac{1}{4}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2}{4 (2) \frac{1}{4} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{4 \cdot 2 \frac{1}{4} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2}{2 + 2 (2 (- 2) \frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 + 2 (2 \cdot - 2 \frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 + 2 \cdot - 2 + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2}{2 - 4 + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Étape 12.5.8

Multipliez $2 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 12.5.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{2 - 4 + 2 \cdot - 3}$

Étape 12.5.8.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2}{2 - 4 - 6}$

Étape 12.5.9

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{2}{- 2 - 6}$

Étape 12.5.10

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$\frac{2}{- 8}$

Étape 12.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 8$ .

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Étape 12.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 8}$

Étape 12.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Étape 12.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Étape 12.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 4}$

Étape 12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$