Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5 x - 3}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 4.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 4.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{7 + 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 0 - 3 \cdot 0}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 0 + 0}}$

Étape 8.2.3

Additionnez $4 + 0$ et $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 0}}$

Étape 8.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4}}$

Étape 8.2.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{7}{- \sqrt{2^{2}}}$

Étape 8.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{7}{- 1 \cdot 2}$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{7}{- 2}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7}{2}$

Forme décimale :

$- 3.5$