Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 x - 3}{2 x - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x - 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3) \frac{1}{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3 \frac{1}{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 x - 3}{2 x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $6$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{2 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6}{2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 3}{2}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{3}{1}$

Étape 1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} 3$

Étape 2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$3$