Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $t^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $19$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $68$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.7.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.8.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{27 + 19 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Multipliez $19$ par $9$ .

$\frac{27 + 171 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8.1.4

Multipliez $- 68$ par $3$ .

$\frac{27 + 171 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8.2

Additionnez $27$ et $171$ .

$\frac{198 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8.3

Soustrayez $204$ de $198$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.2.8.4

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de $t^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{0}{3^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{0}{3^{3} - 9 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{27 - 9 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Étape 1.1.3.5.2

Soustrayez $27$ de $27$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [19 t^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Comme $19$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $19 t^{2}$ par rapport à $t$ est $19 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $19$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 68 t]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Comme $- 68$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 68 t$ par rapport à $t$ est $- 68 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $- 68$ par $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.6

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.7

Additionnez $3 t^{2} + 38 t - 68$ et $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Étape 1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} - 9 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9 t$ par rapport à $t$ est $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \cdot 1}$

Étape 1.3.10.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + 38 t - 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to 3} t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Étape 2.5

Placez le terme $38$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $68$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Étape 2.8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Étape 2.9

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + 2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3^{3} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.3

Multipliez $38$ par $3$ .

$\frac{27 + 114 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $68$ .

$\frac{27 + 114 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.5

Additionnez $27$ et $114$ .

$\frac{141 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $68$ de $141$ .

$\frac{73}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{73}{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{73}{3^{1 + 2} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{73}{3^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{73}{27 - 1 \cdot 9}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{73}{27 - 9}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $9$ de $27$ .

$\frac{73}{18}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{73}{18}$

Forme décimale :

$4.0\overline{5}$