Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (4 t)}{\sin (2 t)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (4 t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}{\sin (2 t)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}{\sin (2 t)}$ comme un produit.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Convertissez de $\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}$ à $\tan (4 t)$ .

$lim_{t \to 0} \tan (4 t) \frac{1}{\sin (2 t)}$

Étape 1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 t)}$ à $\csc (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Étape 2

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{t \to 0^{-}} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Étape 3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (4 t) \csc (2 t)$ lorsque $t$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} t & \tan (4 t) \csc (2 t) \\ - 0.1 & 2.12812524 \\ - 0.01 & 2.00120076 \\ - 0.001 & 2.000012 \\ - 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Étape 4

Lorsque les valeurs $t$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $2$ . Ainsi, la limite de $\tan (4 t) \csc (2 t)$ lorsque $t$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $2$ .

$2$

Étape 5

Regardez la limite côté droit.

$lim_{t \to 0^{+}} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Étape 6

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (4 t) \csc (2 t)$ lorsque $t$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} t & \tan (4 t) \csc (2 t) \\ 0.1 & 2.12812524 \\ 0.01 & 2.00120076 \\ 0.001 & 2.000012 \\ 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Étape 7

Lorsque les valeurs $t$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $2$ . Ainsi, la limite de $\tan (4 t) \csc (2 t)$ lorsque $t$ approche de $0$ depuis le côté droit est $2$ .

$2$