Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{t + 9} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 9}$ comme ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t + 9$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 9$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 9$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.13

Multipliez $\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.3.14

Placez ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 t}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 t}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{t + 9}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9}} \cdot \frac{1}{2 t}$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{t + 9}}$ par $\frac{1}{2 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9} (2 t)}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{4 \sqrt{t + 9} t}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $- \infty$ depuis la gauche et $\infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$