Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t}}{1 - e^{t}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t}}{1 - e^{t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t e^{t}]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t e^{t}]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t} \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]}$

Étape 1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 - \frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 - e^{t}}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $e^{t}$ de $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{- e^{t}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t} + e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} e^{t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Étape 2.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Étape 2.5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

Étape 2.6

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 2.7

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{0}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + e^{0}}{- e^{0}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0 + e^{0}}{- e^{0}}$

Étape 4.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0 + 1}{- e^{0}}$

Étape 4.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{- e^{0}}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 4.4

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$