Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\sin (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 4 t$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \cdot 4}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.6

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (4 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 t)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.8

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \cdot 1}$

Étape 1.3.10

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t)}$

Étape 1.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \cos (4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$4 \frac{\cos (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Étape 2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$4 \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Étape 4.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Étape 4.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$