Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\sin (2 lim_{t \to 0} \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (2 \sin (lim_{t \to 0} t))}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\sin (2 \sin (0))}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 2 \sin (t)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 \sin (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \sin (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 \sin (t)$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) (2 \frac{d}{d t} [\sin (t)])}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 \sin (t))$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.5

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.6

Réorganisez les facteurs de $2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} 2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 lim_{t \to 0} \sin (t))$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (0))$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 \cdot \cos (2 \sin (0))$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cdot \cos (2 \sin (0))$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \cdot \cos (2 \cdot 0)$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cdot \cos (0)$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$