Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{\sqrt{8 + 2}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8 + 2}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{8 + 2}}$

Étape 9.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{\sqrt{8 + 2}}$

Étape 9.2

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 9.4.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 9.4.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 9.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 9.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 9.4.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 9.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 9.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Forme décimale :

$0.94868329 \dots$