Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{3}}{n^{2} + 4 n}$

Étape 1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$2 lim_{n \to 8} \frac{n^{3}}{n^{2} + 4 n}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$2 \frac{lim_{n \to 8} n^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + 4 n}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $n^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + 4 n}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n}$

Étape 6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{8^{2} + 4 \cdot 8}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{512}{8^{2} + 4 \cdot 8}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{512}{64 + 4 \cdot 8}$

Étape 8.2.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$2 \frac{512}{64 + 32}$

Étape 8.2.3

Additionnez $64$ et $32$ .

$2 (\frac{512}{96})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$2 \frac{512}{2 (48)}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{512}{2 \cdot 48}$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{512}{48}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $512$ et $48$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $16$ à partir de $512$ .

$\frac{16 (32)}{48}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$\frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 3}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 3}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32}{3}$

Forme décimale :

$10.\overline{6}$