Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{n}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez $n^{\frac{1}{n}}$ comme $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ en déplaçant $\frac{1}{n}$ hors du logarithme.

$lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{n} \ln (n)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Étape 2.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} n} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (8)}$

Étape 4

Associez $\frac{1}{8}$ et $\ln (8)$ .

$e^{\frac{\ln (8)}{8}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{\frac{\ln (8)}{8}}$

Forme décimale :

$1.29683955 \dots$