Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{1^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Étape 3.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{x^{2} - 1}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.3

Divisez $0$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$