Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x - 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{12 - 3}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $3$ de $12$ .

$\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Étape 3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Étape 3.3.2

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Étape 3.3.3

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Étape 3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Étape 3.3.6.5

Simplifiez

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{x + 1}$