Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{5 + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 2.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}$

Étape 4.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 + 0}}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1}$

Étape 6.3

Divisez $- \sqrt{5}$ par $1$ .

$- \sqrt{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{5}$

Forme décimale :

$- 2.23606797 \dots$