Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 3.1.2

Additionnez $64$ et $7$ .

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1} \sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 3.3.2

Élevez $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Étape 3.3.3

Élevez $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1}}$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{2}$ comme $7 x^{2} + 1$ .

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Étape 3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ comme ${(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{({(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 3.3.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{7 x^{2} + 1}$

Étape 3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{71 (7 x^{2} + 1)}}{7 x^{2} + 1}$