Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 3.1.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ .

$\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 3.3.2

Élevez $\sqrt{x^{2} - 5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{1} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Étape 3.3.3

Élevez $\sqrt{x^{2} - 5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{1} {\sqrt{x^{2} - 5}}^{1}}$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{2}}$

Étape 3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} - 5}}^{2}$ comme $x^{2} - 5$ .

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Étape 3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 5}$ comme ${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{({(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{1}}$

Étape 3.3.6.5

Simplifiez

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2} - 5}$