Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $512$ comme $16^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $256$ à partir de $512$ .

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7.1.2.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7.1.4

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7.1.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Réécrivez $2 x^{3}$ comme $x^{2} \cdot (2 x)$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

Étape 7.2.1.2

Remettez dans l’ordre $2$ et $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

Étape 7.2.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

Étape 7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ par $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ par $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

Étape 7.4.2

Déplacez $\sqrt{2 x}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{2 x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

Étape 7.4.4

Élevez $\sqrt{2 x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

Étape 7.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

Étape 7.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

Étape 7.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ comme $2 x$ .

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Étape 7.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

Étape 7.4.7.5

Simplifiez

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

Étape 7.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

Étape 7.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $48 \sqrt{2} + 24$ et $2$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.8

Multipliez $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ .

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Étape 7.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.9.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.10.1

Factorisez $12$ à partir de $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ .

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Étape 7.10.1.1

Factorisez $12$ à partir de $48 \sqrt{x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Étape 7.10.1.2

Factorisez $12$ à partir de $12 \sqrt{2 x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Étape 7.10.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Étape 7.10.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Étape 7.10.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 7.10.4

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 7.10.5

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.10.5.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 7.10.5.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 7.10.5.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 7.11

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 7.12

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.12.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

Étape 7.12.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Étape 7.12.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Étape 7.12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Étape 7.12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.12.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

Étape 7.12.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$