Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ comme $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ en déplaçant $\tan (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\tan (0) \ln (\sin (0))}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Étape 3.4

Comme $e^{0 \ln (0)}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 5.2

Réécrivez $\tan (x) \ln (\sin (x))$ comme $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Étape 5.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Étape 5.3.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (\sin (x))$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Étape 5.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Étape 5.3.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Étape 5.3.1.3.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 5.3.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 5.3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 5.3.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Étape 5.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 5.3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 5.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 5.3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 5.3.3.4

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 5.3.3.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 5.3.3.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.8.1

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 5.3.3.8.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 5.3.3.9

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.10

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.11

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.12

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.15

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.16

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.17

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.19

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.20

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.20.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.20.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.20.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.20.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.20.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.20.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.3.20.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Étape 5.3.5

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Étape 5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Étape 5.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

Étape 5.3.6.2.4

Divisez $\cos (x) \sin (x)$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

Étape 5.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Étape 5.4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Étape 5.4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Étape 5.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Étape 5.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

Étape 5.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

Étape 5.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

Étape 5.6.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- 1 \cdot 0}$

Étape 5.6.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 5.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$