Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.3

Associez $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.4

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.9

Réécrivez $- (\sin (x) - \cos (x))$ comme $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Étape 4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Étape 4.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 4.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 4.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Étape 6.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

Étape 6.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

Étape 6.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

Étape 6.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{- - 1}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{1}$

Étape 6.5

Simplifiez

$e$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e$

Forme décimale :

$2.71828182 \dots$