Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) - 4 x}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 \sin (2 x) - 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{6 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{6 \sin (2 \cdot 0) - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{6 \sin (2 \cdot 0) - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{6 \sin (0) - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) - 4 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x) - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x) - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin (2 x) - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 + 12 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 + 12 \cos (2 x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- 4 + 12 \cos (2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 + 12 \cos (2 x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} 12 \cos (2 x)$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} 12 \cos (2 x)$

Étape 2.3

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 4 + 12 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 4 + 12 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 4 + 12 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 4 + 12 \cos (2 \cdot 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 4 + 12 \cos (0)$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 4 + 12 \cdot 1$

Étape 4.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$- 4 + 12$

Étape 4.2

Additionnez $- 4$ et $12$ .

$8$