Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

Étape 1

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ à $\csc^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

Étape 2

Réécrivez $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ comme $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 4.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 4.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 4.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 4.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Étape 4.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Étape 4.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (8 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Étape 4.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Étape 4.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.6

Élevez $\csc (8 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 4.1.3.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $8$ par $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Étape 4.1.3.12

Multipliez $16$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Étape 4.1.3.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.13.1

Réécrivez $\csc (8 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Étape 4.1.3.13.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Étape 4.1.3.13.3

Réécrivez $\cot (8 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Étape 4.1.3.13.4

Annulez le facteur commun de $\sin (8 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.13.4.1

Factorisez $\sin (8 x)$ à partir de $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Étape 4.1.3.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Étape 4.1.3.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Étape 4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Étape 4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Étape 4.1.5

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Étape 4.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (8 x)}$ à $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Étape 4.1.7

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Étape 4.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ à $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Étape 4.1.9

Associez $\frac{x}{8}$ et $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Étape 4.1.10

Associez $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ et $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Étape 4.3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Étape 4.4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.125$ . Ainsi, la limite de $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $0.125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Factorisez $0.125$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{64}$

Étape 5

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 6

Évaluez la limite côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 6.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 6.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 6.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Étape 6.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Étape 6.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Étape 6.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Étape 6.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (8 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Étape 6.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Étape 6.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Étape 6.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.6

Élevez $\csc (8 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Étape 6.1.3.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 6.1.3.10

Multipliez $8$ par $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Étape 6.1.3.12

Multipliez $16$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Étape 6.1.3.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.13.1

Réécrivez $\csc (8 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Étape 6.1.3.13.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Étape 6.1.3.13.3

Réécrivez $\cot (8 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Étape 6.1.3.13.4

Annulez le facteur commun de $\sin (8 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.13.4.1

Factorisez $\sin (8 x)$ à partir de $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Étape 6.1.3.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Étape 6.1.3.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Étape 6.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Étape 6.1.5

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Étape 6.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (8 x)}$ à $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Étape 6.1.7

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Étape 6.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ à $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Étape 6.1.9

Associez $\frac{x}{8}$ et $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Étape 6.1.10

Associez $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ et $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Étape 6.2

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Étape 6.3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Étape 6.4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.125$ . Ainsi, la limite de $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $0.125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Factorisez $0.125$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{64}$

Étape 7

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{64}$

Forme décimale :

$0.015625$