Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

Étape 1

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ à $\csc^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

Étape 2

Réécrivez $x^{2} \csc^{2} (3 x)$ comme $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 4.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 4.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 4.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 4.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 4.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Étape 4.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Étape 4.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (3 x)$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Étape 4.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Étape 4.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.6

Élevez $\csc (3 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 4.1.3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Étape 4.1.3.12

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Étape 4.1.3.13

Simplifiez

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Étape 4.1.3.13.1

Réécrivez $\csc (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Étape 4.1.3.13.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Étape 4.1.3.13.3

Réécrivez $\cot (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 4.1.3.13.4

Annulez le facteur commun de $\sin (3 x)$ .

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Étape 4.1.3.13.4.1

Factorisez $\sin (3 x)$ à partir de $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 4.1.3.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 4.1.3.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Étape 4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.1.5

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Étape 4.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (3 x)}$ à $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Étape 4.1.7

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Étape 4.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ à $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Étape 4.1.9

Associez $\frac{x}{3}$ et $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Étape 4.1.10

Associez $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ et $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Étape 4.3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Étape 4.4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.333$ . Ainsi, la limite de $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Étape 4.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Étape 4.5.2

Divisez $0.333$ par $3$ .

$0.111$

Étape 5

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 6

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 6.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 6.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 6.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 6.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Étape 6.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Étape 6.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Étape 6.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Étape 6.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (3 x)$ .

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Étape 6.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Étape 6.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Étape 6.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Étape 6.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 6.1.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.6

Élevez $\csc (3 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 6.1.3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 6.1.3.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Étape 6.1.3.12

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Étape 6.1.3.13

Simplifiez

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Étape 6.1.3.13.1

Réécrivez $\csc (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Étape 6.1.3.13.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Étape 6.1.3.13.3

Réécrivez $\cot (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 6.1.3.13.4

Annulez le facteur commun de $\sin (3 x)$ .

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Étape 6.1.3.13.4.1

Factorisez $\sin (3 x)$ à partir de $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 6.1.3.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Étape 6.1.3.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 6.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 6.1.5

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Étape 6.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (3 x)}$ à $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Étape 6.1.7

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Étape 6.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ à $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Étape 6.1.9

Associez $\frac{x}{3}$ et $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Étape 6.1.10

Associez $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ et $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Étape 6.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Étape 6.3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Étape 6.4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.333$ . Ainsi, la limite de $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Étape 6.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Étape 6.5.2

Divisez $0.333$ par $3$ .

$0.111$

Étape 7

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $0.111$ .

$0.111$