Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 4.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.1.2

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.2.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.3

Placez la limite dans l’exposant.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.4

Réécrivez $x \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 4.5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.3.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.5.6.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.6

Évaluez la limite.

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Étape 4.6.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Étape 4.7

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $x$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

Étape 4.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Étape 4.8.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.8.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Étape 4.8.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 1 - \infty$

Étape 4.8.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 - \infty$

Étape 4.8.1.4

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$9 + - \infty$

Étape 4.8.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$- \infty$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$