Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Simplifiez l’argument limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- \frac{2}{x^{2} + 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x^{2} + 2 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{2}{x^{2} + 2 x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{(x^{2} + 2 x) x}$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + 2 x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x - 2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Étape 1.1.5

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + 2 x)}$

Étape 1.1.6

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + 2 x)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Étape 1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 2.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 2.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 2}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$