Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Étape 1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Étape 1.1.3.2.2

Évaluez la limite de $\arctan (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

Étape 1.1.3.2.3

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Étape 1.3.5.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.6.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.6.1.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Étape 1.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 1.5.1

Associez $3$ et $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Étape 1.6.2

Divisez $3 (x^{2} + 1)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 (0^{2} + 1)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (0 + 1)$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$