Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire

\frac{1}{x \sqrt{1} + x}

$\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Pour écrire

- \frac{1}{x}

$- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}

$\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

(x \sqrt{1} + x) x

$(x \sqrt{1} + x) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez

\frac{1}{x \sqrt{1} + x}

$\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ par

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Étape 1.3.2

Multipliez

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ par

\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}

$\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de

(x \sqrt{1} + x) x

$(x \sqrt{1} + x) x$ .

lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez les limites en insérant

0

$0$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite de

x - (x \sqrt{1} + x)

$x - (x \sqrt{1} + x)$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1.1

Toute racine de

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

0

$0$ par

1

$1$ .

\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.3

Placez le terme

\sqrt{1}

$\sqrt{1}$ hors de la limite car il constant par rapport à

x

$x$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez les limites en insérant

0

$0$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.4.2

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.4.3

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.5.1.1

Toute racine de

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Multipliez

0

$0$ par

1

$1$ .

\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Étape 2.1.3.5.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

\frac{0}{0 \cdot 0}

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.5.3

Multipliez

0

$0$ par

0

$0$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.5.4

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1

Toute racine de

1

$1$ est

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

x

$x$ par

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.3

Additionnez

x

$x$ et

x

$x$ .

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x - (2 x)

$x - (2 x)$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.6

Évaluez

\frac{d}{d x} [- (2 x)]

$\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

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Étape 2.3.6.1

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.6.2

Comme

- 2

$- 2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 2 x

$- 2 x$ par rapport à

x

$x$ est

- 2 \frac{d}{d x} [x]

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.6.4

Multipliez

- 2

$- 2$ par

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.7

Soustrayez

2

$2$ de

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Étape 2.3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.8.1

Toute racine de

1

$1$ est

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

Étape 2.3.8.2

Multipliez

x

$x$ par

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

Étape 2.3.9

Additionnez

x

$x$ et

x

$x$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

Étape 2.3.10

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

Étape 2.3.11

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

Étape 2.3.12

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

Étape 2.3.13

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 2.3.14

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x^{2}

$2 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

Étape 2.3.16

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

Étape 3

Comme la fonction approche de

\infty

$\infty$ depuis la gauche mais

- \infty

$- \infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

N’existe pas

$N’existe pas$